算数・数学の世界「小町算ってなんだ？」

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公開日：2024年03月19日　　
更新日：2024年04月04日

算数・数学の世界「小町算ってなんだ？」

小学生授業導入算数・数学の世界

小町算とは？
小町算の由来
- 小町算とセンチュリーパズルの違い
小町算の考え方
小町算の練習問題
もっと考えてみよう！

小町算をご存知でしょうか？小町算とは数学パズルの一種で、小野小町に由来して名付けられました。現在では、中学受験の入試問題でも出題されることが多いようです。
この記事は、小学生を教える先生方に向けて、小学生でもわかるように小町算をまとめています。授業の導入などにお使いください。

小町算とは？

$12+3+4+5-6-7+89=100$

$1\times2\times3\times4+5+6+7\times8+9=100$

のように、1～9までの数字を順番に一度だけ使って、答えがちょうど100になる計算を小町算といいます。

小町算の由来

小野小町おののこまちは、今から1200年程昔の平安時代の歌人です。幼い頃から歌や踊りはもちろん、琴、書道となんでも上手だったそうです。日本では、エジプトのクレオパトラ、中国の楊貴妃ようきひとならんで世界三大美人としても有名です。

小野小町が実際に小町算を解いたかは定かでありませんが、語源は、小野小町が深草少将ふかくさのしょうしょうに「自分のもとに100夜続けて通えば結婚してあげます。」と約束し、その男性が99夜通って、あと1夜というところで亡くなってしまった！という話にちなんでいるという説があります。

一方、ヨーロッパでは、似たような計算を「センチュリーパズル」とよびます。

センチュリーとは、一世紀＝100年のことですね。

小町算とセンチュリーパズルの違い

ヨーロッパでは1～9までの数字を一度だけ使って答えがちょうど１００になるように、帯分数の形にならべた計算式を「センチュリーパズル」とよびます。

$$ 96\frac{1428}{357} = 100 $$

小町算との違いは、
・数字の並びが1から順番でなくても良いこと
・帯分数の形にならべること
です。

小町算の考え方

小町算は、解き方が決まっていません。ひたすら試してみるという解き方になってしまいますが、一部分の計算結果について、

・ケタがより大きい数になるであろう足し算やかけ算を先に考える
・割ったときに割り切れるかどうか考える
・全体の計算結果が１００よりもかなり小さい数（例えば負の数）になるか考える

など、計算する順番を考えて解いていくと、うまくいくかもしれません。

例えば、次の小町算で□にあてはまる記号は、あとの【考え方】のようにして解くことができます。

１□２$\times$３□４$+$５$+$６$□_A$７$\times$８$□_B$９$=$１００

【考え方】

各部分の計算結果が大きい数になりそうな$□_A$と$□_B$の□に注目する。
AかBのいずれかが$\times$のとき、左辺の計算結果は１００を大きくこえてしまうため、いずれも$\times$ではない。
AかBのいずれかが$\div$のとき、割り切れず計算結果が整数にならないため、いずれも$\div$ではない。
Aが$-$だと（７$\times$８$=$）５６以上の数を引くことになるが、１～５までの計算では、記号をどのようにしても５６より大きい数にはならないので、計算結果が負の数になってしまう。そのため、Aは$-$ではない。よって、Aは$+$となる。

１□２$\times$３□４$+$５$+$６$＋_A$７$\times$８$□_B$９
→１□６□４$+$５$+$６$+$５６$□_B$９
Bは、2、3より$+$か$-$となる。
Bが$+$の場合…１□６□４$+$５$+$６$+$５６$＋_B$９＝１□６□４$+$７６
Bが$-$の場合…１□６□４$+$５$+$６$+$５６$－_B$９＝１□６□４$+$５８

１□６□４の部分が２４か４２になる組み合わせを探すと、１$\times$６$\times$４のとき２４となる。よって、答えは次のようになる。

$１\fbox{×}２\times３\fbox{×}４+５+６\fbox{+}７\times８\fbox{+}９=１００$

小町算の練習問題

和差コース

$+$、$-$をあてはめましょう。
(1) １２３$-$４５□６７□８９$=$１００
(2) １$+$２$+$３４□５□６７□８$+$９$=$１００
(3) ９８$-$７$+$６□５□４□３□２$+$１$=$１００

四則コース

$+$、$-$、$\times$、$\div$をあてはめましょう。
(4) １２$+$３□４□５$+$６□７□８$+$９$=$１００
(5)（１$+$２）□３$\times$４□（５６□７□８$+$９）$=$１００

答え

(1) $１２３-４５\fbox{−}６７\fbox{+}８９=１００$

【考え方】
１２３$-$４５□６７□８９$=$１００

□は$+$か$-$なので、はじめから決まっている計算１２３$-$４５から考える。
１２３$-$４５$=$７８を１００から引いた数（２２）が、８９$-$６７の答えと同じであることを見つける。

(2) $１+２+３４\fbox{−}５\fbox{+}６７\fbox{−}８+９=１００$

【考え方】
１$+$２$+$３４□５□６７□８$+$９$=$１００

(1)と同様に、□は$+$か$-$なので、１$+$２$+$３４$+$９から考える。
１$+$２$+$３４$+$９$=$４６を１００から引いた数（５４）が、６７$-$８$-$５の答えと同じであることを見つける。

(3) $９８-７+６\fbox{+}５\fbox{−}４\fbox{+}３\fbox{−}２+１=１００$

【考え方】
９８$-$７$+$６□５□４□３□２$+$１$=$１００

(1)と同様に、□は$+$か$-$なので、９８$-$７$+$６$+$１から考える。
９８$-$７$+$６$+$１$=$９８を１００から引いた数（２）が、５$-$４$+$３$-$２の答えと同じであることを見つける。

(4) $１２+３\fbox{×}４\fbox{+}５+６\fbox{+}７\fbox{×}８+９=１００$

【考え方】
１２$+$３$□_A$４$□_B$５$+$６$□_C$７$□_D$８$+$９$=$１００

まずA～Dのいずれかが$\div$のとき、割り切れず計算結果は整数にならないため、いずれも$\div$ではない。
次に、はじめから決まっている計算１２$+$９を考える。１２$+$９$=$２１を１００から引いた数（７９）を、残った数の組み合わせ（$+$３$□_A$４$□_B$５$+$６$□_C$７$□_D$８）から見つける。
仮にA～Dがすべて$+$だったとすると、残った数の計算結果は３３になり、７９よりも小さくなってしまうので、どこかで$\times$をあてはめて、計算結果を大きくする必要がある。
逆にすべて$\times$とすると、残った数の計算結果は３９６となり、７９をこえてしまうので、$\times$と$+$（もしくは$-$）の組み合わせであることがわかる。
より大きくなる計算から考えていくと、７$×_D$８$=$５６となり、
３$□_A$４$□_B$５$+$６$□_C$５６$=$７９　となる。
Cが$\times$だとすると、７９を大きくこえてしまう。またCが$-$だとすると、負の数になってしまう。よって、Cは$+$であることがわかる。
３$□_A$４$□_B$５$+$６$＋_C$５６$=$７９となるので、６$+$５６$=$６２を７９から引いた数（１７）を、残った数の組み合わせ（３$□_A$４$□_B$５）から見つける。

(5) $（１+２）\fbox{÷}３\times４\fbox{×}（５６\fbox{÷}７\fbox{+}８+９）=１００$
【別解】
$（１+２）\fbox{×}３\times４\fbox{+}（５６\fbox{+}７\fbox{−}８+９）=１００$

【考え方】
（１$+$２）$□_A$３$\times$４$□_B$（５６$□_C$７$□_D$８$+$９）$=$１００

（１$+$２）を先に計算するということは、Aには$\times$か$\div$が入る。

●Aが$\div$のとき

（１$+$２）$÷_A$３$\times$４$=$４となり、Bが$\div$、$-$だと答えが１００にならないため不適。よって、Bは$+$または$\times$となる。
Bが$+$のとき、４$＋_B$（５６$□_C$７$□_D$８$+$９）$=$１００　となるが、４を１００から引いた数（９６）は残った数の組み合わせ（５６$□_C$７$□_D$８$+$９）からは見つけられないので、不適。
次にBが$\times$のとき、４$×_B$（５６$□_C$７$□_D$８$+$９）$=$１００　となるので、１００を４で割った数（２５）を残った数の組み合わせ（５６$□_C$７$□_D$８$+$９）から見つける。

【別解】Aが$\times$のとき

（１$+$２）$×_A$３$\times$４$=$３６となり、Bが$\times$、$\div$、$-$だと答えが１００にならないため不適。よって、Bは$+$となる。
３６$+$（５６$□_C$７$□_D$８$+$９）$=$１００　となったので、３６を１００から引いた数（６４）を残った数の組み合わせ（５６$□_C$７$□_D$８$+$９）から見つける。